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期望与方差公式

更新日期：2026-09-15 19:27:10

标题期望与方差公式
内容

在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要概念。期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对这两个概念及其公式的总结。

一、期望（Expected Value）

定义：期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势，也称为数学期望或均值。

计算公式：

随机变量类型 公式
离散型随机变量 $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $
连续型随机变量 $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $

其中：

- $ x_i $ 是离散随机变量的可能取值；

- $ P(x_i) $ 是对应取值的概率；

- $ f(x) $ 是连续型随机变量的概率密度函数。

性质：

- 线性性：$ E(aX + b) = aE(X) + b $，其中 $ a, b $ 为常数；

- 若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ E(XY) = E(X) \cdot E(Y) $。

二、方差（Variance）

定义：方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，反映数据的波动性。

计算公式：

随机变量类型 公式
离散型随机变量 $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i) $
连续型随机变量 $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx $

也可以通过以下公式简化计算：

$$

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

$$

性质：

- $ Var(aX + b) = a^2 Var(X) $，其中 $ a, b $ 为常数；

- 若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) $。

三、常见分布的期望与方差

分布名称 期望 $ E(X) $ 方差 $ Var(X) $
伯努利分布 $ B(p) $ $ p $ $ p(1-p) $
二项分布 $ B(n,p) $ $ np $ $ np(1-p) $
泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ $ \lambda $ $ \lambda $
正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ $ \mu $ $ \sigma^2 $
均匀分布 $ U(a,b) $ $ \frac{a+b}{2} $ $ \frac{(b-a)^2}{12} $

四、总结

期望和方差是概率统计中的核心概念，它们分别从“中心位置”和“离散程度”两个角度刻画随机变量的特性。掌握这些公式的应用有助于在实际问题中进行数据分析、风险评估和模型构建。对于不同的分布，其期望和方差有固定的表达形式，理解这些规律可以提高解决问题的效率。

概念 定义 公式
期望 随机变量的平均值 $ E(X) = \sum x_i P(x_i) $ 或 $ \int x f(x) dx $
方差 随机变量与期望的偏离程度 $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] $ 或 $ E(X^2) - [E(X)]^2 $

以上内容涵盖了期望与方差的基本概念、计算方法及常见分布的公式，适用于初学者或需要快速回顾基础知识的学习者。

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